Александр Чайковский обучался по классу фортепиано в Центральной музыкальной школе, в 1965 поступил в Московскую консерваторию в классы композиции Тихона Хренникова и фортепиано Льва Наумова. Окончив консерваторию в 1972 году, совершенствовался в аспирантуре, с 1976 года ведёт преподавательскую деятельность на кафедре сочинения (с 1993 — профессор, с 1997 — заведующий кафедрой).
Чайковский — член Союза композиторов СССР с 1976 года. В 1985–1990 был секретарем Союза композиторов СССР по работе с творческой молодежью. В 1993–2002 — советник Мариинского театра. В 2005–2008 — ректор Санкт-Петербургской консерватории. С 2003 года по настоящий момент — художественный руководитель Московской филармонии.
А. Чайковский — обладатель I премии на Международном конкурсе композиторов «Hollybush Festival» (США). Принимал участие в международных музыкальных фестивалях в Шлезвиг-Гольштейне (Германия), «Пражская весна», в фестивале Юрия Башмета в Лондоне, в Международном фестивале искусств «Звезды белых ночей» (Санкт-Петербург), в фестивале им. А.Д. Сахарова в Нижнем Новгороде, в Международном фестивале «Киев-Фест». В 1988 был главным композитором фестиваля в Бад-Киссингене (Германия), в 1995 — фестиваля «Nova Scotia» (Канада). Произведения А. Чайковского звучат в крупнейших концертных залах России, Европы, Америки, Японии. Лауреат газеты «Музыкальное обозрение» в номинации «Композитор года».
Список сочинений А. Чайковского многообразен. Композитор в своем творчестве охватывает практически все основные жанры академической музыки: девять опер, среди которых — опера «Один день Ивана Денисовича», представленная в 2009 году в рамках фестиваля Национальной театральной премии «Золотая маска»; 3 балета, 2 оратории («К солнцу», «От имени земного шара»), 4 симфонии, симфоническая поэма «Ноктюрны Северной Пальмиры», Концерт для оркестра «ЦСКА – Спартак», 12 инструментальных концертов (для фортепиано, альта, виолончели, фагота и симфонического оркестра и других инструментов), хоровые и вокальные произведения и камерно-инструментальные сочинения. А. Чайковский активно работает в жанрах «легкой музыки». Им создан мюзикл «Греховодникъ», оперетта «Провинциалка», музыка к кинофильмам, телефильмам, документальным фильмам и мультфильму.
Музыку А. Чайковского исполняют такие выдающиеся музыканты, как М. Плетнев, В. Федосеев, В. Гергиев, М. Янсонс, Х. Вульф, С. Сондецкис, А. Дмитриев, Ю. Башмет, В. Третьяков, Д. Герингас, Б. Пергаменщиков, М. Гантварг, Е. Бронфман, А. Слободяник, «Вермеер-квартет», «Терем-квартет», «Фонтене-трио». С композитором сотрудничали: Мариинский театр, Московский Камерный музыкальный театр п/у Б. Покровского, Московский театр оперетты, Детский музыкальный театр им. Н.И. Сац, Пермский театр оперы и балета, Театр оперы и балета в Братиславе, Санкт-Петербургский театр музыкальной комедии.
Почти 30 лет посвятил А. Чайковский педагогической деятельности. Выпускники композитора работают во многих городах России, в Италии, Австрии, Англии, США, среди них — лауреаты конкурса «Международная трибуна композитора ЮНЕСКО», Международного конкурса им. П. Юргенсона, международных композиторских конкурсов в Голландии и Германии.
А. Чайковский ведет активную общественную деятельность. В 2002 стал инициатором и художественным руководителем музыкального фестиваля «Молодежные Академии России». Основная цель фестиваля — продвижение молодых композиторов и исполнителей, акция получила поддержку Президента РФ. Композитор является членом и председателем жюри многочисленных российских и международных конкурсов, членом Совета культурного форума «Россия — Япония», членом общественного Совета директоров I канала (ОРТ).
Трижды газетой «Музыкальное обозрение» назывался «Персоной года». В 2009 газета назвала «Событием года» постановку оперы А. Чайковского «Один день Ивана Денисовича» в Пермском академическом театре оперы и балета им. П.И. Чайковского.
